Question

已知二次函数y=x²-2ax+6,当-2≤X≤2时，函数值恒大于a,求a的取值范围

Answer 1

y=x^2-2ax+6=(x-a)^2-a^2+6
函数图像开口向上，对称轴x=a,最小值-a^2+6
①.当a<-2时,函数在[-2,2]上单调递增，要使函数值恒大于a,只需当x=-2时y>a即可,所以x=-2时,y=10+4a>a,解得a>-10/3,又有a<-2，所以-10/3<a<-2.
②.当a>2时,函数在[-2,2]上单调递减，要使函数值恒大于a,只需当x=2时y>a即可,所以x=2时,y=10-4a>a,解得a<2,又有a>2，矛盾，舍去。
③.当-2<=a<=2时,函数在x=a处取最小值-a^2+6，要使函数值恒大于a,只需-a^2+6>a即可,解得-3<a<2，又有-2<=a<=2，所以-2<=a<2。
综上可得：-10/3<a<2。

Answer 2

令f(x)=x^2－2ax＋6-a,原题等价于-2<=x<=2，f(x)>=0恒成立的a的取值。
f(x)的对称轴x=a
则
当a<=-2时，f(x)在-2<=x<=2上是增函数，f(x)min=f(-2)=4+4a+6-a>=0，解得a>=-10/3，则-10/3<=a<=-2；
当a>=2时，f(x)在-2<=x<=2上是减函数，f(x)min=f(2)=4-4a+6-a>=0，解得a<=2，则a=2
当-2<=a<=2时，f(x)min=f(a)=a^2-2a^2+6-a>=0，解得-3<=a<=2，解得-2<=a<=2.
综上所述，上述a的取值的并集即为所求：-10/3<=a<=2