Question

一道求解数列极限的难题

设a>0,X1>0,Xn+1= 1/2(Xn+a/Xn),(n=1,2,3....) 1.证数列{Xn}单调减少且 有下界。2.lim Xn (n→∞) 其中n+1 和 n 是数列的下标

Answer 1

解：(1)由,Xn+1= 1/2(Xn+a/Xn),和X1>0知Xn>0, Xn+1= 1/2(Xn+a/Xn)≥√a,Xn=√a时取等号，
（事实上，若X1=√a，则整列数Xn都是√a）以下讨论排除X1=√a的情形：
(Xn+1)/(Xn)＝1/2(1＋a/X²n)＜1,即：Xn+1＜Xn,故数列{Xn}单调减少且 有下界
（2）设lim Xn (n→∞) ＝m,在Xn+1= 1/2(Xn+a/Xn)两边同时取极限，得：
m=1/2(m+a/m), 解得;m＝﹙1＋√(1+4a)﹚/2

追问

由第一问只能知道Xn+1开始，也就是X2开始的项是≥√a的，并不知道X1的情况。并且单调递减的证明也是在Xn≥√a的基础上的。如何得知X1也符合单调递减呢？如果趋于∞的数列{Xn}中有1项不符合单调性，那么还可以说该数列是单调的么？
PS：M的值解错了的说，不过这个无所谓啦。

追答

确实，由于x1的值不确定，所以说单调性的时候需要从第二项开始，因为在X1<√a的时候，第一项就比第二项小了，严格地说，应该是从第二项开始单调递减