Question

已知函数f(x)=x+a/x当a=4时，用单调性定义证明函数f(x)在[2,正无穷)上为增函数；

Answer 1

对任意x1>x2>0
f(x1)-f(x2)=a^x1 a^(-x1)-a^x2-a^(-x2)=(a^x1-a^x2) [a^(-x1)-a^(-x2)]=(a^x1-a^x2) (1/a^x1-1/a^x2)
=(a^x1-a^x2) (a^x2-a^x1)/a^x1×a^x2=(a^x1-a^x2)(1-1/a^x1×a^x2)
若0<a<1, 则a^x是减函数, 0<a^x1<a^x2<a^0=1, ∴a^x1-a^x2<0, 0<a^x1×a^x2<1
∴1/a^x1×a^x2>1, 1-1/a^x1×a^x2<0, ∴f(x1)-f(x2)>0
若a>1, 则a^x是增函数, a^x1>a^x2>a^0=1, ∴a^x1-a^x2>0, a^x1×a^x2>1
∴1/a^x1×a^x2<1, 1-1/a^x1×a^x2>0, ∴f(x1)-f(x2)>0
综上,f(x1)-f(x2)>0, f(x1)>f(x2), f(x)在(0, ∞)上是单调增函数