Question

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点o,过点o作直线EF垂直于BD,分别交AD,

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点o,过点o作直线EF垂直于BD,分别交AD,BC于点E和点F,求证，四边形BEDF为菱形

Answer 1

∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
∴ΔOAE≌ΔOCF，∴AE=CF，OE=OF，
∵OE=1/2BF，∴EF=BF，
又AD-AE=BC-CF，即DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形，
∴BE=BF，∴ΔBEF是等边三角形，
∴∠FED=∠FEA=60°，∴∠BEA=60°，
在ΔBEA与ΔBEO中：
AE=OE，BE=BE，∠BEA=∠BEO=60°，
∴ΔBEA≌ΔBEO，
∴∠A=∠BOE=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形。