Question

一道初高中衔接的数学题，求高人指点，要有过程和答案，谢谢。

已知，如图，BD为半圆O的直径，M为弧BD的中点，点A在弧MD上运动，点C在BD的延长线上，且使AB=AC，如果BD=8,设AB=X，BC=Y. 求Y与X的函数关系式和自变量X的取值范围.

Answer 1

过点A作AE⊥BC于E，连结AD
则E为BC的中点
由△ABE∽△DBA可得：AB^2＝BD·BE＝BD·1/2BC＝4BC
∴BC＝1/4AB^2
即有：Y＝1/4X^2

Answer 2

有悬赏分不?
因为AB=AC,所以角ABC=角C
而角ABC=角BAO,所以角BAO=角C
且角B为公共角,所以三角形AOB相似于三角形CAB
得AO/CA=AB/CB
带入数值得4y=x^2
自变量X的取值范围为（4根号2，8）
括号是取值范围，应该看的懂吧，数学符号键盘上没有，就用文字代替了。
。。。暑假闷的慌，解道题玩玩。。。

Answer 3

连接AD，并过A做BC的高为h，则
h平方=X平方 —（y/2）平方 ；
三角形ABD中 （BD x h)/2=(AB x AD)/2，即：8h/2=（X x AD)/2，而AD=根号下（BD平方—AB平方)=根号下（64 — X平方），故而8h/2=（X x 根号下（64—X平方））/2，
h平方=X平方—X4次方/64；
故此，X平方 —（y/2）平方=X平方—X4次方/64，（X平方+4Y）（X平方—4Y.）=0 显然
X，Y.是非负数，故有 Y=X平方/4(X的取值范围：大于等于4倍根号2而小于等于8 —— 点C在BD的延长线上，A、M重合时，C、D也重合)