Question

P为椭圆x²／25+y²／16=1上一点，F1、F2为左右焦点,若∠F1PF2=60°，求|PF1|•|PF2|的值

Answer 1

这个好算，
△F1PF2是椭圆的“焦点三角形”
在椭圆中，焦点三角的面积是有公式的。
若椭圆的方程是x²/a²+y²/b²=1或y²/a²+x²/b²=1,
S(焦点三角形)=b²·tan(θ/2) (θ为焦点三角形的顶角)
在这道题中，我们可以用焦点三角形F1PF2的面积自等去做
S△F1PF2=b²·tan(θ/2)=1/2·|PF1|•|PF2|·sinθ 此题中θ为∠F1PF2=60°
代入数值
16×tan30°=1/2·|PF1|•|PF2|·sin60°
|PF1|•|PF2|=64/3

Answer 2

设|F1P|=x，则根据余弦定理，
2|PF1|•|PF2| cos60=x^2+(10-x)^2-36
|PF1|•|PF2|=64-20x
而|PF1|•|PF2|=x(10-x)
所以x(10-x)=64-20x，即x^2-30x+64=0。解得x=15+√161(舍去)，x=15-√161。
所以|PF1|•|PF2|=x(10-x)=(15-√161)(-5+√161)=20√161-236。