Question

已知函数f(x)=alnx-2ax+3(a≠0) (1) 求函数f(x)的单调区间（2）函数f(x)的图像在x=2处的切线斜率为3/2，

若函数g(x)=x^3/3+x^2[f(x)+m]，在区间（1,3）上不是单调函数，求m的取值范围

Answer 1

第一问
f'(x)=a/x -2a=a(1-2x)/x
由已知，函数f(x)的定义域为x>0
所以，（1）a>0时，若f'(x)=a(1-2x)/x >0，即0<x<1/2时，f(x)为单调递增；
若f'(x)=a(1-2x)/x <0，即x>1/2时，f(x)为单调递减；
（2）a<0时，若f'(x)=a(1-2x)/x >0，即x>1/2时，f(x)为单调递增；
若f'(x)=a(1-2x)/x <0，即0<x<1/2时，f(x)为单调递减；
第二问
由切线可以求出a值（a=-1），因为在（1，3）上不单调，所以存在导函数为零的点。从而可求。(-7/2,(5ln5-13)/2)

追问

第二问给出的答案是：-10/3<m<-2
与你提供的答案不一样，为什么？

Answer 2

首先，定义域是x>0 ，这类题目首先要看定义域！ 求导，然后讨论a>0 和a <0时候的情况 比如当a>0时，单增区间是（0,1/2] ，单减区间是（1/2, +∞），a<0 时区间一样，但是是反过来的。
第二问呢 ，根据条件 可以得到a =-1，f(x)=-lnx +2x +3 ，然后对g（x）求导 ，这个求导的时候 f（x）先不要带进去，求完导了再带进去得到g(x)的导数为 7x^2 +(2m+5)x - 2xlnx 到这了就要想到，要使g（x）在（1,3）上不是单调函数，就是要g（x）的导数不恒大于0或者是恒小于0 ，所以g（1）的导数乘以 g（3）的导数 是小于0 的，得到以俄国关于m的表达式，那个就自己解了吧

Answer 3

定义域是X>0 所以求导f`(x)=a/x-2 然后分类讨论导数值大于零还是小于零这是第一问。
第二问当x=2时，导数值等于3/2带入求解即可求出a的值
g(x)=x^3/3+x^2[f(x)+m]，在区间（1,3）上不是单调函数，就是g(x)的导数在(1,3)间有一点值为零
g`(x)= 7x^2 +(2m+5)x - 2xlnx =h(x) 对h(x)再次求导h`(x)=14x+2m+5-2lnx-2 也就是求h`(x)在(1,3)上有零点，14x-2lnx+3在(1,3)上为增函数，所以h`(x)在x=1 处最小，x=3处最大，最大乘最小小于零，就可以得出来了