Question

数学帝进求解第八题详解

Answer 1

这个很简单
如果 A的转置乘A=0
那么（aij）^2=0
任意aij都为0
只要举个例子来看就行了设A为
a11 a12
a21 a22
那么它的转置是
a11 a21
a12 a22
那么A的转置乘A可表示为
a11*a11+a12*a12 a11*a21+a12*a22
a11*a21+a12*a22 a21*a21+a22*a22
因为这个矩阵等于零
所以a11*a11+a12*a12=0
a21*a21+a22*a22=0
由于A是实数域上的矩阵所以
也就是说a11、a12、a21、a22的平方都是0
它们也只能都是0了
对任何阶的矩阵这个都成立，可以分块做。

Answer 2

对A做行分块，设A=(a1,a2,……,an)^T
则
A^TA=a1^2+a2^2+……+an^2=0
从而
a1=a2=……=an=0
进而A=0 .

或者这样看A'A为一半正定矩阵，若其等于0，必有A=0

Answer 3

根据矩阵的转置公式代换，或者列举一个2阶方阵来验算也可