Question

已知a+b=4，a²+b²=12，求a^5+b^5

Answer 1

∵a＋b＝4、∴a^2＋b^2＋2ab＝16，又a^2＋b^2＝12，∴2ab＝4，∴ab＝2。
∴（a＋b）（a^2＋b^2）＝4×12＝48，∴a^3＋b^3＋ab（a＋b）＝48，
∴a^3＋b^3＝48－ab（a＋b）＝48－2×4＝40。
∵ab＝2，∴（ab）^2＝4。
∴（a^2＋b^2）^2＝144，∴a^4＋b^2＋2（ab）^2＝144，∴a^4＋b^4＝144－2（ab）^2＝136。
∴（a＋b）（a^4＋b^4）＝4×136，∴a^5＋b^5＋ab（a^3＋b^3）＝544，
∴a^5＋b^5＝544－ab（a^3＋b^3）＝544－2×40＝544－80＝464。

Answer 2

a+b=4 a²+b²=12
(a+b)²-(a²+b²)=2ab=4²-12=4
ab=2

a^5+b^5
=(a²+b²)(a³+b³)-a³b²-a²b³
=(a²+b²)(a+b)(a²-ab+b²) -(ab)²(a+b)
=12×4×(12-2)-2²×4
=464