Question

初三难题求高手帮忙！！！！！

分别以任意一个四边形的四条边为边作四个新的正方形，求证四个新的正方形的中心（相对的两个中心，不是相邻的）的连线互相垂直且相等
有图片下面
此题曾经难倒了名校老师，图片可能显示不出来，但是题意应该能理解

Answer 1

这个是冯.奥伯定理,对于凹凸四边形，甚至三点共线的四边形都适用。
重新叙述命题如下：
1.已知一个任意四边形ABCD
2.以它的每条边AB,BC,CD,DA为边长向外作四个正方形S1 S2 S3 S4
3.取每个正方形的对角线交点E,F,G,H
4.连接上下两个交点E,G和左右两个交点F,H,EG和FH交与点J
证明:EG=FH且EG垂直于FH.

证明基本思想就是将FH旋转90度得到F'H'，只要证明F'E‖GH'且相等，就可以得到F'EGH'是平行四边形，原题就能得到证明了。

四边形ABCD绕A点旋转90度，得新的四边形A'B'C'D',新四边形A'与A点重合，边A'B'与S1的一边重合
边B'C',D'A'外作四个正方形S'2 ,S'4
四个正方形S'2 ,S'4 的对角线交点F'、H'，连接F'H'，
因为FH绕A点旋转90度得到F'H'，所以FH⊥F'H'，且FH=F'H'
连接EF'、GH'，得四边形F'EGH'
连接B'F'、B'E,连接DG、DH'
连接AC，DH'=DA*二分之根号二 , DG=CD*二分之根号二
所以DH'/DG=DA/CD
∠ADH'=∠CDG=45度，所以∠ADC=∠H'DG
所以△DGH'与△DCA等比，所以GH'=AC*二分之根号二,且GH'与AC成45度角
B'E=AB*二分之根号二 ,B'F'=BC*二分之根号二
所以B'E/AB=B'F'/BC=二分之根号二
又∠C'B'F'=∠EB'A'=45度,所以∠EB'F'=∠A'B'C'=∠ABC (A'与A点重合)
所以△EB'F'与△ABC等比,所以EF'=AC*二分之根号二,且EF'与AC成-135度角(角度的负值是相对与GH'与AC成的角)
所以 GH'=EF'，且GH'与EF'成的角度是45-（-135）=180度，就是GH'‖EF'
所以四边形F'EGH'是平行四边形
所以GE=F'H',GE‖F'H', 又F'H'=FH且F'H'⊥FH
得到结论：GE=FH，GE⊥FH