Question

二阶常系数微分方程通解问题

形如y''+Ay'+y=0 的形式的微分方程。 课本上教的方法是先求特征方程的根。关于这种方法我有如下疑问：
这种方法是不是因为所有函数中 只有 y=e^x 的积分或者微分都是它本身
为什么其通解是由e^x构成的
我说错了 还有 y=sinx， y=cosx 其微分积分是循环出现的 每四次回归一次？
那为什么特征方程出现共轭复根的时候 通解是由sinx cosx 构成的？

如何证明解的唯一性？
因为我不理解为什么这种形式的微分方程解的形式是固定的。 因为函数有无限多个，难道别的任何形式的函数都无法满足这种形式的微分方程吗？

Answer 1

形如y''+Ay'+y=0 的形式的微分方程。 课本上教的方法是先求特征方程的根。这种方法并不是因为所有函数中只有 y=e^x 的积分或者微分都是它本身，而是因为一阶方程y'+Ay=0有通解y=c*e^(-A*x)。所以我们猜测该方程也有形式为y=e^(λx)的解，代入微分方程中得到(λ^2+Aλ+1)e^(λx)=0，而e^(λx)>0，所以只可能是特征方程λ^2+Aλ+1=0，该方程的解为λ1和λ2，可得微分方程的通解y=c1*e^(λ1*x)+c2*e^(λ2*x)。当特征方程λ^2+Aλ+1=0的解是复数时，我们利用欧拉公式e^(i*θ)=cosθ+i*sinθ，可以将通解写成y=e^(α*x)*(c1*cos(β*x)+c2*sin(β*x))的形式。至于解的唯一性，需要通过初始条件来确定。