Question

高中数学不等式题，求解？？？？

已知a>0,b>0,求证：b2/a+a2/b>=a+b.
要详细过程

Answer 1

解法一：
由柯西不等式，
（b2/a+a2/b）（a+b）>=（a+b）^2
即b2/a+a2/b>=a+b.

解法二：（所有能用柯西不等式解决的问题用基本不等式均能解决）
基本不等式a+b>=2倍根号下ab
则（b2/a+a2/b）（a+b）=a^2+b^2+a^3/b+b^3/a
>=a^2+b^2+2倍根号下a^2b^2=a^2+b^2+2ab=(a+b)^2
即b2/a+a2/b>=a+b.

Answer 2

(a^2/b+b^2/a)-(a+b)=(a^2/b-a)+(b^2/a-b)
=(a/b)(a-b)+(b/a)(b-a)
=(a-b)(a/b-b/a)
=(a-b)(a^2-b^2)/ab
=(a-b)^2(a+b)/(ab),因a,b>0,
所以 （a-b）^2≥0,a+b>0,ab>0,
所以(a^2/b+b^2/a)-(a+b) ≥0,
a^2/b+b^2/a≥a+b

Answer 3

b^2/a+a^2/b
=(a^3+b^3)/ab
=(a+b)(a^2-ab+b^2)/ab
=(a+b)(a/b+b/a-1)

由于a，b都是正数，所以a/b+b/a≥2√(a/b)*(b/a)=2
所以b^2/a+a^2/b≥a+b

Answer 4

要证b²/a+a²/b≥(a+b）
∵a>0,b>0
∴只需证a³+b³≥ab(a+b)
即（a+b)(a²-ab+b²)≥ab(a+b)
a²-ab+b²≥ab
a²-2ab+b²≥0
(a-b)²≥0恒成立
所以b²/a+a²/b≥(a+b)成立

Answer 5

用柯西不等式求解：
（b^2/a+a^2/b)(a+b)>=(a+b)^2
即b^2/a+a^2/b>=a+b,当且仅当b^2/a^2=a^2/b^2取等号，由已知，即a=b时取等号。