Question

高等数学求微分方程的通解

求微分方程y"+3y'+2y=6(e的x次方)的通解
解答要全部过程，可文字叙述

Answer 1

首先求y"+3y'+2y=0的通解
解特征方程x^2+3x+2=0的两根为-1和-2
所以y"+3y'+2y=0的通解为y=C1*e^(-x)+C2*e^(-2x)，其中C1，C2为任意常数
然后求y"+3y'+2y=6e^x的特解
应该说，虽然求微分方程的特解本身是相当困难的事，但一般高等数学的题目都不算很难，一般可以用观察法得到
注意到1+2+3=6，而对于y=e^x的各阶导数y'，y‘’都是e^x。可以想到特解就是y=e^x（代进去可以证实）
于是y"+3y'+2y=6e^x的通解为y=e^x+C1*e^(-x)+C2*e^(-2x)，其中C1，C2为任意常数

Answer 2

微分方程首先要分清类型，一把钥匙开一把锁。这是常系数非齐次线性方程，解法是先求常系数齐次线性方程y"+3y'+2y=0的解，这只要解代数方程x^2+3x+2=0,x=-1,-2齐次线性方程y"+3y'+2y=0的通解为y=c1e^(-x)+c2e^(-2x),再求微分方程y"+3y'+2y=6(e的x次方)的一个特解，因为e^(-x),e^(-2x)与e的x次方不同,可设微分方程y"+3y'+2y=6(e的x次方)的一个特解就是y=Ae的x次方,代入y"+3y'+2y=6(e的x次方)得A+3A+2A=6,A=1,微分方程y"+3y'+2y=6(e的x次方)的一个特解就是y=e的x次方,所以所求通解为y=c1e^(-x)+c2e^(-2x)+e的x次方.这题是最简单的常系数非齐次线性方程。

Answer 3

y”+3y’+2y=6e^{x}不妨令y=P(x)*e^{x}代入化简可得：P''+5P'+6P-6=0引入变换：Q(x)=P(x)-1，得Q''+5Q'+6Q=0解得：Q(x)=Ae^{-2x}+Be^{-3x}从而y=P(x)*e^{x}=(Q(x)+1)*e^{x}=Ae^{-x}+Be^{-2x}+e^{x}