Question

已知实数a,b,c,d互不相等，且a+1/b=b+1/c=c+1/d=d+1/a=x求x的值.

Answer 1

x= 根号2 或 -根号2
先把b,c,d用a和x表示出来。
b=1/(x-a)
c=(x-a)/(x^2-ax-1)
d=(x^2-ax-1)/(x^3-ax^2-2x+a)
又d+1/a=x，所以
ax^4-(a^2+1)x^3-2ax^2+2(a^2+1)x=0 (好累...)
两边除以a,设t=a+1/a，得
x^4-tx^3-2x^2+2tx=0
分解因式，得
x(x-t)(x+根号2)(x-根号2)=0。
若x=0，则a=-1/b,b=-1/c，得a=c，与题意不符。
若x=t，则a+1/b=a+1/a，得b=a，与题意不符。
若x=根号2，能找到一组：a=1,b=1/(根号2-1),c=-1,d=1/(根号2+1)
若x=-根号2，能找到一组：a=-1,b=-1/(根号2-1),c=1,d=-1/(根号2+1)。
所以x的值是根号2或-根号2。

Answer 2

a+1/b=b+1/c=c+1/d=d+1/a=x
a=bx-1
b=cx-1
c=dx-1
d=ax-1
a=(cx-1)x-1=cx^2-x-1=dx^3-x^2-x-1=ax^4-x^3-x^2-x-1
a*(x^4-1)=x^3+x^2+x+1=(x^2+1)(x+1)
(x^2+1)(x+1)(ax-a-1)=0
同理：(x^2+1)(x+1)(bx-b-1)=0
(x^2+1)(x+1)(cx-c-1)=0
(x^2+1)(x+1)(dx-d-1)=0
a,b,c,d互不等
x=-1