已知函数f(x)=2sin^2(π/4+x)-(3^1/2)cos2x,x∈[π/4,π/2].
1.求函数的最大值和最小值2.若不等式If(x)-mI<2在x∈[π/4,π/2]上恒成立,求实数m的取值范围...
1.求函数的最大值和最小值
2.若不等式If(x)-mI<2在x∈[π/4,π/2]上恒成立,求实数m的取值范围 展开
2.若不等式If(x)-mI<2在x∈[π/4,π/2]上恒成立,求实数m的取值范围 展开
1个回答
展开全部
解:(1)
由题知,f(x)=1-cos(2x+π/2)-(√3)cos2x
=sin2x-(√3)cos2x+1
=2sin(2x-π/3)+1
由x∈[π/4,π/2] 。所以,π/6≤2x-π/3≤2π/3。
所以,当2x-π/3=π/2,即x=5π/12时,函数有最大值3;
当2x-π/3=π/6,即x=π/4时,函数有最小值2。
(2)
由(1)知,2≤f(x)≤3,记t=f(x)。有|t-m|<2,即(t-m)^2<4,t^2-2mt+m^2-4<0,
其中t∈[2,3]。我们可以将问题看作二次函数g(t)=t^2-2mt+m^2-4在区间[2,3]上函数值小于0的问题。 即有g(2)<0,g(3)<0,得m^2-4m<0, 0<m<4;
m^2-6m+5<0,1<m<5.
综上述,m∈(1,4)
由题知,f(x)=1-cos(2x+π/2)-(√3)cos2x
=sin2x-(√3)cos2x+1
=2sin(2x-π/3)+1
由x∈[π/4,π/2] 。所以,π/6≤2x-π/3≤2π/3。
所以,当2x-π/3=π/2,即x=5π/12时,函数有最大值3;
当2x-π/3=π/6,即x=π/4时,函数有最小值2。
(2)
由(1)知,2≤f(x)≤3,记t=f(x)。有|t-m|<2,即(t-m)^2<4,t^2-2mt+m^2-4<0,
其中t∈[2,3]。我们可以将问题看作二次函数g(t)=t^2-2mt+m^2-4在区间[2,3]上函数值小于0的问题。 即有g(2)<0,g(3)<0,得m^2-4m<0, 0<m<4;
m^2-6m+5<0,1<m<5.
综上述,m∈(1,4)
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询