Question

已知函数f(x)=2sin^2(π/4+x)-(3^1/2)cos2x,x∈[π/4,π/2].

1.求函数的最大值和最小值
2.若不等式If(x)-mI<2在x∈[π/4,π/2]上恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

解：(1)
由题知，f(x)=1-cos(2x+π/2)-(√3)cos2x
=sin2x-(√3)cos2x+1
=2sin(2x-π/3)+1
由x∈[π/4,π/2] 。所以，π/6≤2x-π/3≤2π/3。
所以，当2x-π/3=π/2，即x=5π/12时，函数有最大值3；
当2x-π/3=π/6，即x=π/4时，函数有最小值2。
(2)
由(1)知，2≤f(x)≤3，记t=f(x)。有|t-m|＜2，即(t-m)^2<4，t^2-2mt+m^2-4<0，
其中t∈[2,3]。我们可以将问题看作二次函数g(t)=t^2-2mt+m^2-4在区间[2，3]上函数值小于0的问题。 即有g(2)<0,g(3)<0，得m^2-4m<0， 0<m<4;
m^2-6m+5<0，1<m<5.
综上述，m∈(1,4)