Question

四边形ABDF中,C、E在AF、DF上,AB=AC,BD=DE,∠BDF=2∠ABC，M为CE中点。△ACM与△PEM关于M成中心对称

四边形ABDF中,C、E在AF、DF上,AB=AC,BD=DE,∠BDF=2∠ABC，M为CE中点。△ACM与△PEM关于M成中心对称，（1）求证：AM⊥DM。（2）若AM=√3DM,求∠ABC的度数 http://pic.wenwen.soso.com/p/20110802/20110802103029-1340177650.jpg

Answer 1

(1)连接DP,AD
在四边形DECB中 ∠DEM+∠MCB+∠CBD+∠BDF=360°
其中 ∠DEM=360°-∠PEM-∠PED
∠BDF=2∠ABC=∠ABC+ACB
∠MCB+∠ACB=∠MCA ∠CBD+∠ABC=∠ABD
∠PEM=∠MCA
代入得到 ∠PED=∠ABD
又有PE=AC=AB DE=DB
∴PED≌ABD
∴PD=AD
ACM与PEM关于M中心对称 ∴M是AP的中点
∴AM⊥DM

(2)AM=√3DM ∠DMA=90° 有AD=2DM ∠MDA=60°
∴∠PDA=120°
∠PDA=∠PDE+∠EDA=∠ADB+∠EDA=∠BDF=2∠ABC
∴∠ABC=60°

Answer 2

在四边形DECB中 ∠DEM+∠MCB+∠CBD+∠BDF=360°
其中 ∠DEM=360°-∠PEM-∠PED
∠BDF=2∠ABC=∠ABC+ACB
∠MCB+∠ACB=∠MCA ∠CBD+∠ABC=∠ABD
∠PEM=∠MCA
代入得到 ∠PED=∠ABD
又有PE=AC=AB DE=DB
∴PED≌ABD
∴PD=AD
ACM与PEM关于M中心对称 ∴M是AP的中点
∴AM⊥DM

(2)AM=√3DM ∠DMA=90° 有AD=2DM ∠MDA=60°
∴∠PDA=120°
∠PDA=∠PDE+∠EDA=∠ADB+∠EDA=∠BDF=2∠ABC
∴∠ABC=60°

Answer 3

你好，关于这道的解法如下：（根据条件，我作出了上述图形，不知是否与原题图形相同.）

第（1）小题：

  ∵△ACM与△PEM关于M成中心对称

    ∴AC=PE

又∵AB=AC

    ∴AB=PE

    ∵∠DEP=∠3+∠7，∠3+∠7=∠5+∠6，∠6=∠4+∠ADE

代入得：∠DEP=∠5+∠4+∠ADE

在△ABC中，根据三角形内角和=180°得：∠5+∠4=180°-2∠ABC-∠1

     ∴∠DEP=180°-2∠ABC-∠1+∠ADE

     ∵∠ADE=∠BDF-∠2，∠BDF=2∠ABC

     ∴∠DEP=180°-∠1-∠2（即：∠DEP=∠ABD）

在△ABD和△PED中，

  AB=PE

   ∠DEP=∠ABD  

    BD=DE

∴△ABD≌△PED（SAS）

∴AD=DP

∴△ADP为等腰三角形

∵D为AP的中点

∴AM⊥DM（三线合一）

第（2）小题：设DM=x，则AM=√3x

由（1）知：AM⊥DM

在Rt△ABD中，根据勾股定理求得：AD=2x

∴∠DAM=30°（直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）

∴∠ADM=60°

    ∠ADB=∠PDE，∠ADM=∠PDM，∠PDM=∠PDE+∠MDF

∴∠ADM=∠ADB+∠MDF

∴∠BDF=∠ADB+∠ADM+∠DMF

              =2∠ADM

∴∠BDF=120°

∵∠BDF=2∠ABC

∴∠ABC=60°