Question

设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R。t>0) （1）求f(x)最小值h（t）

（1）求f(x)最小值h（t） （2）若h（t）＜-2t+m，对t∈（0,2）恒成立，求实数m的范围

Answer 1

Ⅰ）∵f（x）=t（x+t）2-t3+t-1（x∈R，t＞0），
∴当x=-t时，f（x）取最小值f（-t）=-t3+t-1，
即h（t）=-t3+t-1；
（Ⅱ）令g（t）=h（t）-（-2t+m）=-t3+3t-1-m，
由g′（t）=-3t2+3=0得t=1，t=-1（不合题意，舍去）
当t变化时g′（t）、g（t）的变化情况如下表：
t （0，1） 1 （1，2）
g′（t） + 0 -
g（t） 递增 极大值1-m 递减
∴g（t）在（0，2）内有最大值g（1）=1-m
h（t）＜-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g（t）＜0在（0，2）内恒成立，
即等价于1-m＜0
所以m的取值范围为m＞1．

Answer 2

t倍x的平方加什么？2t2x什么意思？
再写一遍，或者发下图片