Question

已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1=a1，对b∈N+，有an+sn=n，bn+1=（n+1）-an

1.数列an的通项an
2.求证bn是等比数列
3.设bn的前n项和为Sn，证明Sn＜1
题目里打错了一点，应为b(n+1)=a(n+1)-an

Answer 1

an+sn=n
a(n-1)+s(n-1)=n-1
两式相减得
an-a(n-1)+an=1
2an=a(n-1)+1
an=1/2a(n-1)+1/2
an-1=1/2[a(n-1)-1]
所以{an-1}是以a1-2为首项，以1/2为公比的等比数列
an-1=(a1-1)*(1/2)^(n-1)
an=(a1-1)*(1/2)^(n-1)+1

b(n+1)=（n+1）-an
b(n+1)=（n+1）-an
=n-(a1-1)*(1/2)^(n-1)
=n-(b1-1)*(1/2)^(n-1)
这个首项是多少啊？

追问

an+Sn=n，设n=1，则a1+S1=1即2a1=1，a1=1/2
还有啊，空行以后的地方= =我没看懂的说，直接用b（n+1）/b(n)比出来不就好了么？

追答

an+sn=n
a(n-1)+s(n-1)=n-1
两式相减得
an-a(n-1)+an=1
2an=a(n-1)+1
an=1/2a(n-1)+1/2
an-1=1/2[a(n-1)-1]
所以{an-1}是以a1-2为首项，以1/2为公比的等比数列
an-1=(a1-1)*(1/2)^(n-1)
an=(a1-1)*(1/2)^(n-1)+1
a1=1/2
an=1-(1/2)^n

第二问不是b(n+1)=（n+1）-an？

追问

= =不好意思啊~我打错了
应该是b(n+1)=a(n+1)-an

追答

b(n+1)=a(n+1)-an
=1-(1/2)^(n+1)-[1-(1/2)^n]
=(1/2)^(n+1)
可见{bn}是以公比为1/2,首项为1/2的等比数列
Sn=1-(1/2)^n