Question

已知0<a<1,b>0,a的b次方等于b的a次方，求证a=b

Answer 1

a的b次方等于b的a次方
两边同时对a取对数得
b=a*以a为底b的对数
两边在同时除以b,得
1=以a为底b的a/b次方的对数,即
a=b的a/b次方
若a>b则a/b>1又0<a<1,则b一定小于1(大于1的数任何次方都是大于等于1的)
分数的大于1的方是不可能比自身大的,所以假设不成立
若a<b则a/b<1又0<a<1,则b一定小于1
分数的小于1的方是不可能比自身小的,所以假设不成立
综上,得a=b

Answer 2

此题可用反证法求，假设a不等于b，则有a＞b＞0或者0＜a＜b，当第一种情况时，因0＜a＜1则有a＾a＜a＾b，又因a＞0，a＞b，则有a＾a＞b＾a，则有b＾a＜a＾b与已知条件矛盾，不成立．当第二种情况时，同样做可以推导出b＾a＞a＾b，总上所述，a＝b

Answer 3

的b次方等于b的a次方 后两边分别取对数，化简