Question

数学函数题

已知函数f（x）=1/a-1/x(a＞0，x＞0），
（1）用定义证明f（x）在（0+∞）上是增函数
（2）若f（x）在区间[1/2，4]上取得最大值为5求实数a的值。

Answer 1

在（0+∞）上任取x1＜x2

f（x2）-f（x1）=1/x1-1/x2＞0
所以f（x）在（0+∞）上是增函数

因为f（x）在（0+∞）上是增函数
所以f（4）=5
带入得a=4/21

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Answer 2

（1）任取x1，x2∈（0，+∞），其中x2>x1
△x=[f（x2）-f（x1）]/(x2-x1)=[(1/a-1/x2)-(1/a-1/x1)]/(x2-x1)=(1/x1-1/x2)/(x2-x1)
∵x2>x1
∴1/x2<1/x1
∴1/x1-1/x2>0
所以△x>0
(2)因为f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，所以f（x）在区间[1/2，4]上最大值为f（4）=5
f(4)=1/a-1/4=5
∴1/a=21/4
∴a=4/21

Answer 3

(2),f(x)在[1/2,4]上时增函数，则
f(4)最大

f(4)=5=1/a-1/4,a=4/21

(1),0<x1<x2<+00

f(x2)-f(x1)=1/a-1/x2-1/a+1/x1

= (x2-x1)/(x1x2)>0

所以严格递增函数。

Answer 4

证明：1.任取x2，x1大于0，且设x2>x1>0，那么f（x2）-f（x1）=1/x1-1/x2=（x2-x1）/x1x2>0所以f（x2）>f(x1)，因此f（x）在（0，正无穷）是增函数
2.由（1）知道f（x）在（0，正无穷）是增函数，那么f在【1/2,4】上的最大值为f（4）=1/a-1/4=5，所以a=4/21