Question

几何证明题！！！

证明：O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC)

Answer 1

求证:AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC.

证明:延长BA到D,使AD=AC,连接CD.则:∠D=∠ACD=(1/2)∠BAC;
点O为内心,则:∠BAN=(1/2)∠BAC=∠D;可知AN∥DC.
∴BN:NC=AB:AD=AB:AC;…………………………[这是几何中常用到的"角平分线性质定理]
(再罗嗦一遍,即:若AN平分角BAC,则AB:AC=BN:NC)
同理:BO平分∠ABN,故AO:ON=AB:BN;(1)
CO平分∠ACN,故AO:ON=AC:CN;(2)
又AN∥DC,则⊿BAN∽⊿BDC,得BD:BC=AB:BN.
即:(AB+AD):BC=AB:BN, (AB+AC):BC=AB:BN.(3)
由(1),(2),(3)可知:AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC.

Answer 2

作F对AB的对称点F1，F对CD的对称点F2，F2对AD的对称点F3
可得EF=EF1，FG=GF2，HF2=HF3，F1F3=2AC
EF+EH=EF1+EH≥HF1，FG+GH=GF2+HG≥HF3
EF+FG+GH+HE≥（HF1+HF3）≥F1F3，即EF+FG+GH+HE≥2AC
向左转|向右转

Answer 3

这个定理叫作角平分线定理，适用于所有的三角形。三角形ABO面积=0.5*AB*BO*sin(0.5B)，
（表示角B的一半），三角形NBO面积=0.5*BN*BO*sin(0.5B) 所以两个面积比就是AB:BN,另外这两个三角形同高，面积比也等于底边比AO:NO所以AO:NO=AB:BN 其他的同样道理。另外题目中最后部分应该是（AB+AC):BC，可以由第二个等式根据比例的性质得到

Answer 4

联结BF，∵∠OFN=∠OBM=450∴∠BMF=∠BNF
∵OF=OB  ∴∠OFB=∠OBF;又∵BF=BF
∴△BFM≌△FBN  ∴BM=FN
向左转|向右转

Answer 5

该题目是不是要限制三角形为等边三角形，以下是我按照等边三角形做的：
因为O是内心，（内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。）
延长CO交AB于点M
所以ON=OM
所以三角形ABN与三角形AOM相似
所以AO:ON=AB:BN（前一个已证）
同理AC:CN=AO:ON
至于（AB+AC）哪写错了吧。没理由啊？