Question

已知数列1/1*4 ，1/4*7 ,1/7*10 ,......1/(3n-2)(3n+1)

(1 )计算S1 S2 S3
(2)根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明？

Answer 1

S1=1/4=1/(1×3+1)

S2=2/7=2/(2×3+1)

S3=3/10=3/(3×3+1)

猜想Sn=n/(3n+1)

用数学归纳法证明如下：

当n=1时上边已验证成立。

假设当n=k时该结论成立，即Sk=k/(3k+1)

当n=k+1时，S(k+1)=k/(3k+1)+1/(3k+1)(3k+4)=[k(3k+4)+1]/(3k+1)(3k+4)

=(3k^2+4k+1)/(3k+1)(3k+4)=(k+1)(3k+1)/(3k+1)(3k+4)=(k+1)/(3k+4)

即S(k+1)=(k+1)/(3k+4)，结论依然成立。

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