Question

函数f（X）=X+1/x （1）求证：f（X）在区间{1，正无穷）上为增函数

2）若f（x）<m在区间{2,8}上恒成立，求实数M的取值范围

Answer 1

你好
(1)证则漏明，设x1＞x2≥1
f(x1)-f(x2)
=x1+1/x1-x2-1/x2
=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)
=[x1x2(x1-x2)+(x2-x1)]/x1x2
=(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2
因为x1＞x2≥1
所以x1-x2＞0，x1x2-1＞0，x1x2＞0
所以f(x1)-f(x2)＞0
所以f(x)在【1，孙肢烂正无穷)为增饥弯函数
（2）由（1）知
函数最小值在x=2处取得为5/2
最大值在x=8处取得为65/8
m的取值范围为（65/8，正无穷)