Question

奥数难题

任意选取9个连续的自然数，他们的乘积为P，最小公倍数为Q，P除以Q所得到的商一定是自然数，那么这个商最大可能值是多少？

Answer 1

商的最大可能值在9个数中相同因数最多时取得
先考虑2。9个数中至少有5个二的倍数，这五个中最多有三个是四的倍数
这三个中最多有两个是八的倍数
故在这一项上可得到的公共因数为2^7=128
再考虑3。同上可得公共因数3^2=9
再考虑5。同上可得公共因数5
再考虑7。同上可得公共因数7
故商最大为128*9*7*5=40320
构造：168,169,170,171,172,173,174,175,176

Answer 2

1
p必定等于q
证明~
由于相邻两数必定互质
故相邻两数的最小公倍数等于其乘积
9个数的话同理
故得证~

Answer 3

9个连续自然数的乘积除以这9个数的最小公倍数,等于其中一个数分别与其它7个数的最大公约数的乘积。
设连续9个自然数为n、n+1、n+2、n+3、n+4、n+5、n+6、n+7、n+8。
连续8个自然数的乘积除以这8个自然数的最小公倍数,要想商最大，那么第一个自然数应该与后面8个自然数分别有最大公约数，而n、n+1公约数只能是1；n和n+2公约数可能有1或2；和n+3可能有1或3；n和n+4公约数可能有1或2或4；n和n+5公约数可能有1或5；n和n+6公约数可能有1或2或3或6；n和n+7公约数可能有1或7；n和n+8公约数可能有1或2或4或8；当n=1*2*3*4*5*6*7*8=40320时，n和n+1、n+2、n+3、n+4、n+5、n+6、n+7、n+8分别有最大公约数1、2、3、4、5、6、7、8。
所以：连续9个自然数的乘积除以这9个自然数的最小公倍数,商最大是1*2*3*4*5*6*7*8=40320

Answer 4

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