Question

问一个线性代数有关二次型化标准形的问题。。 请问为什么说正交变换化二次型成标准形具有 保持几何形

问一个线性代数有关二次型化标准形的问题。。 请问为什么说正交变换化二次型成标准形具有 保持几何形状不变 的优点？ 即:若化二次型f为标准形的正交矩阵为C，证对任意向量x，都有‖x‖=‖Cx‖。

Answer 1

证:记x=〔x1,...,xn〕^T,C=〔c1,...,cn〕,由C为正交矩阵，那个各ci,i=1,...,n正交，且有‖ci‖=1,那么‖Cx‖^2=<Cx,Cx>=<x1c1,x1c1>+...+<xncn,xncn>=|x1|^2‖c1‖+...+|xn|^2‖cn‖=|x1|^2+...+|xn|^2=‖x‖^2,所以‖Cx‖=‖x‖