Question

已知函数f (x )满足f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y属于R),则f(2010)=?

要详细解题过程，不要跳步

f(x+2)=-f(x-1)
即f(x)=f(x+6)
如何解释

Answer 1

取y=1，则 4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1)
即 f(x)=f(x+1)+f(x-1)
所以 f(x+1)=f(x+2)+f(x) (在上式中，以x+1代替x)
两式相加，得 f(x+2)+f(x-1)=0
所以 f(x+2)=-f(x-1)
因此，f(x+6)=f[(x+4)+2]=-f[(x+4)-1]=-f(x+3)=-f[(x+1)+2]=f[(x+1)-1]=f(x)
就是说，函数是以6为周期的周期函数。

f(2010)=f(335*6)=f(0)
在已知等式中取x=1，y=0，则可得 4f(1)f(0)=2f(1)，所以 f(0)=1/2
因此，f(2010)=f(0)=1/2.

追问

本人愚钝，再问一下
f(x+6)=f[(x+4)+2]=-f[(x+4)-1]=-f(x+3)=-f[(x+1)+2]=f[(x+1)-1]=f(x)
到
f(2010)=f(335*6)=f(0)
是怎么来的

追答

2010 一直减 6 ，减了 335 次后为 0 ，因此 f(2010)=f(2004)=f(1998)=.......=f(0) .

Answer 2

f(0)=4f(1)f(0)=f(1+0)+f(1-0)=2f(1)=1/2.
f(x)=4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1),
f(x)=f(x+1)+f(x-1).
f(x+1)=f(x+1+1)+f(x+1-1)=f(x+2)+f(x),
f(x)=f(x+1)+f(x-1)=f(x+2)+f(x)+f(x-1),
f(x+2)=-f(x-1).
f(x+6)=f(x+4+2)=-f(x+4-1)=-f(x+3)=-f(x+1+2)=f(x+1-1)=f(x).
6是f(x)的一个正周期.
f(2010)=f[6*350+0]=f(0)=1/2

追问

本人愚钝，再问一下
f(x+6)=f[(x+4)+2]=-f[(x+4)-1]=-f(x+3)=-f[(x+1)+2]=f[(x+1)-1]=f(x)
到
f(2010)=f(335*6)=f(0)
是怎么来的

Answer 3

f(x+6)=f[(x+4)+2]=-f[(x+4)-1]=-f(x+3)=-f[(x+1)+2]=f[(x+1)-1]=f(x)
是神马？不懂