求函数值域问题
利用数形结合法1.求函数y=|x-1|+|2x+1|的值域
2.求函数y=(1+sinx)/(2+cosx)的值域（2.如果用导数怎么求？） 展开
1、利用换元法求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的值域
令t=sinx+cosx
则sinxcosx=(t^2-((sinx)^2+(cosx)^2))/2
=(t^2-1)/2
y=sinxcosx+sinx+cosx
=(t^2-1)/2+t
=t^2/2+t-1/2
因为t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
所以t的范围是【-√2，√2】
所以y=t^2/2+t-1/2的范围【-1，1/2+√2】
2、利用数形结合法求函数y=|x-1|+|2x+1|的值域
如图所示
①当x≥1时，y=x-1+2x+1=3x，
此时值域为【3，正无穷）
②当 -1/2＜x＜1时，y=1-x+2x+1=x+2
此时值域为（3/2，3）
③当x≤ -1/2，y=1-x-2x-1=-3x
此时值域为【3/2，正无穷）
3、用导数求函数y=(1+sinx)/(2+cosx)的值域
y ’ =((1+sinx)' *(2+cosx)-(1+sinx) *(2+cosx)')/(2+cosx)^2
=(sinx+2cosx+1)/(2+cosx)^2
=√5sin(x+φ)/(2+cosx)^2
令y‘ ≥0，求其递增区间
则√5sin(x+φ) ≥0
x∈【-φ+2πn，π-φ+2πn】
则递减区间为
x∈（π-φ+2πn，2π-φ+2πn）
所以y=(1+sinx)/(2+cosx)最大值在x=π-φ+2πn处
此时y=(1+sin(π-φ+2πn))/(2+cos(π-φ+2πn))
=(1-sinφ)/(2-cosφ)
前面可得sinφ=2√5/5，cosφ=√5/5
所以最大值y=（√5-2）/（2√5-1）
y=(1+sinx)/(2+cosx)最小值在x= -φ+2πn
代入可得y=(1-sinφ)/(2+cosφ)
=（√5-2）/（2√5+1）
所以导数的范围【(√5-2)/(2√5+1)，(√5-2)/(2√5-1)】
这题答案未能分母有理化 如果有需要的话 化一下也快
第三题的答案好像不对，参考答案是[0，4/3]
第三题粗心了一下，忘写了点
重新写一遍
用导数求函数y=(1+sinx)/(2+cosx)的值域
y ’ =((1+sinx)' *(2+cosx)-(1+sinx) *(2+cosx)')/(2+cosx)^2
=(sinx+2cosx+1)/(2+cosx)^2
=√5(√5/5sinx+2√5/5cosx)+1/(2+cosx)^2
令cosφ=√5/5，sinφ=2√5/5
可得(√5sin(x+φ)+1)/(2+cosx)^2
令y‘ ≥0，求其递增区间
则√5sin(x+φ)+1 ≥0
sin(x+φ)≥ -√5/5=-cosφ=sin(φ-π/2)
由图可得φ-π/2+2πn≤x+φ≤3π/2-φ+2πn
x∈【-π/2+2πn，3π/2-2φ+2πn】
则递减区间为
x∈（3π/2-2φ+2πn，3π/2+2πn）
所以y=(1+sinx)/(2+cosx)最大值在x=3π/2-2φ+2πn处
此时y=(1+sin(3π/2-2φ+2πn))/(2+cos(3π/2-2φ+2πn))
=(1-cos2φ)/(2-sin2φ)
cos2φ=(cosφ)^2-(sinφ)^2= -3/5
sin2φ=2sinφcosφ=4/5
所以最大值y=(1+3/5)/(2-4/5)=4/3
y=(1+sinx)/(2+cosx)最小值在x=-π/2+2πn
代入可得y=(1-sin(-π/2+2πn))/(2+cos(-π/2+2πn))
=(1-sin(π/2))/(2+cos(π/2))=0
所以导数的范围【0,4/3】
抱歉你的答案不对。
=√2(√2/2*sinx+√2/2zosx)
=√2(sinxzosπ/4+zosxsinπ/4)
=√2sin(x+π/4)
所以-√2<=a<=√2
a²=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+2sinxcosx
sinxcosx=(a²-1)/2
所以y=a²/2+a-1/2
=1/2(a+1)²-1
-√2<=a<=√2
所以a=-1，y最小=-1
a=√2，y最大=1/2+√2
所以值域[-1,1/2+√2]
+无穷】时
是增函数
②x=0
时，y=0;x=+无穷时，y的极限等于1。
即值域是【0，1】
就有t^2
+t+1.他的最小值为3/4.所以他的值域为：根号3分之二，到正无穷大。
