Question

已知函数y=f（x）对于任何正实数x，y都有f(xy）=f（x）f（y），且x＞1时，f（x）＜1

已知函数y=f（x）对于任何正实数x，y都有f(xy）=f（x）f（y），且x＞1时，f（x）＜1，f(x)≠0。证明f(x)>0

Answer 1

证明：
1.>在R+上任取 x>0 ,令y=x，可得
f(x^2) = f(x)*f(x) >=0

∵ f(x)≠0

∴ f(x^2)>0
由于x在R+上任意性，x^2 能取到R+上所有值

∴ f(x)>0

　　
2> 任取0< x1<x2
则 0< f(x2/x1) < 1

∴ f(x2) = f(x2/x1 * x1)

= f(x2/x1) *f(x1)
< f(x1)

即 在 0< x1<x2时

f(x1)>f(x2)

∴ y=f（x）在（0，+∞）上为减函数