Question

高数问题（有关微分方程）

其次方程可表示为dy/dx=F(y/x),而线性方程是dy/dx+P(x)y=Q(x),当Q(x)=0时，方程齐次。齐次方程和线性方程的齐次有关系吗？是什么关系？忘高手解答一下，感激不尽。

Answer 1

对于齐次方程：令p=y/x,则，y=px,所以dy=x*dp+p*dx
则原方程可化为：x*(dp/dx)+p=F(p)
dp/dx=[F(p)-p]/x,把F(p)-p看作一个整体。是关于p的函数。

这就表明了：齐次方程是可以通过换元，进而变化成一个齐次的线性方程。。

其实主要就是为了求解方程。齐次方程，与齐次的线性方程都是比较容易求解的。

追问

可不可以这样理解，齐次方程和线性齐次，没有什么实在的意义，只是一个形式，方便求解？

追答

也不能这样说，对于有些方程来说，是具有物理意义或者一些几何意义的，那么对应的齐次方程和线性齐次是有实际意义的。单从数学的角度来讲，那就是为了取一个形式，使这种形式是方便求解的。

Answer 2

你说的好像不太对，你说的第一种是可分离变量的微分方程。齐次方程是线性方程的一种。

追问

没错的，比如：dy/dx=(xy-y2)/(x2-2xy)就可以化成dy/dx=F(y/x)，但是不是可分离变量的。