Question

分解因式:a^n-b^n 要求写出详细的证明过程。 能否用数列的求和知识解决呢？

证明：利用等比数列的求和公式得
a^(n-1)+ba^(n-2)+b^2a^(n-3)+...+b^(n-1)=[a^(n-1)-b^(n-1)b/a](1-b/a)
=[a^n-b^n]/(a-b)
所以，a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+ba^(n-2)+b^2a^(n-3)+...+b^(n-1)]。

Answer 1

利用等比数列求和公式
a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+......a^2b^(n-3)+ab^(n-2)+b^(n-1)
是首项为a^(n-1) 公比为b/a的等比数列
a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+......a^2b^(n-3)+ab^(n-2)+b^(n-1)
=a^(n-1)(1-(b/a)^n)/(1-b/a)
=[a^(n-1)-b^n/a]/(1-b/a)
=(a^n-b^n)/(a-b)

所以

(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+......a^2b^(n-3)+ab^(n-2)+b^(n-1)]
=a^n-b^n

Answer 2

分解为：
(a-b)[a^（n-1)+a^(n-2)b+......+b^(n-1)]
证明方法可用辗转相除法证明，也可看作立方和公式的推广
补充：
你的方法可看作是以a^(n-1)为首相，b/a为公比的等比数列，项数共n-1项