Question

高数-曲面积分！求详细计算过程！！

Answer 1

马克…
利用高斯公式。由于Σ为闭曲面，故而
原式=∫∫∫(Ω)（∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z）dν
=-∫∫∫(Ω)（1/x²+1/y²+1/z²）dv
由于积分曲面Σ的方程中变量x,y,z相互对调次序后方程不变，所以有
x²=y²=z²=(x²+y²+z²)/3
故原式=-∫∫∫(Ω)（(3/x²+y²+z²)·3）dv
=-9∫∫∫(Ω)dv
=-9*(-4π/3)=12π。
注意Σ和Ω的符号。

Answer 2

由对称性，原积分=3∫∫(1/z)dxdy
积分∫∫(1/z)dxdy可分为上、下两部分
上侧z=(1-x^2+y^2)^(1/2)，正向
下侧z=-(1-x^2+y^2)^(1/2)，负向
所以∫∫(1/z)dxdy=∫∫((1-x^2+y^2)^(-1/2))dxdy-∫∫-((1-x^2+y^2)^(-1/2))dxdy=2∫∫((1-x^2+y^2)^(-1/2))dxdy
利用极坐标
∫∫((1-x^2+y^2)^(-1/2))dxdy=∫∫((1-ρ^2)^(-1/2))ρdρdθ
=∫dθ(0-->2π)∫((1-ρ^2)^(-1/2))ρdρ(0-->1)=2π
所以原积分3*2*2π=12π

Answer 3

设出参数方程，然后用雅可比行列式，
设x=sinφcosθ，y=sinφsinθ，z=cosφ，0<φ<π，0<θ<2π

追问

求详细过程啊，难点在积分限的选取和计算。

已经解出来了，很简单，也不用参数方程。

追答

你用的第二类曲面积分，转化成第一类曲面积分来做的。

这样也行，但是如果改成dydz/x^2+dzdx/y^2+dxdy/z^2
就不太好做了

加个60分，我把过程给你。你那么多分，太小气了