Question

试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx＾２＋（r＋2）x＋３r－２＝０有根且仅只有整数根

Answer 1

(1)r≠0时, 因为方程有整数根, 所以两根之和为整数,两根之积也为整数, 而x1+x2=-(r+2)/r=-1-2/r,x1*x2=(3r-2)/r=3-2/r, 所以-1-2/r,3-2/r都应该是整数, 所以r是2的因数, 而2的因数有±1,±2, 所以r=±1,±2, 当r=1或2时,方程没有实数根,所以不合题意,舍去; 而当r=-1时,方程变为-x^2+x-5=0,方程有实数根,但不是整数,不符合题意,舍去; 当r=-2时,方程变为-2x^2-8=0, x=±2,符合题意; (2)当r=0时,方程变为2x-2=0, x=1是整数,符合题意; 综合以上得r=-2或r=0

Answer 2

解：当r=0, 2x-2=0, x=1, 方程只有整数根
当r不等于0
x^2+(1 +(2/r))x+(3-(2/r))=0
两根和=-(1+(2/r))=整数
所以：2/r为整数
设n=2/r=整数
x^2+(1+n)x+(3-n)=0
n=(x^2+x+3)/(1-x)
=-x-2+[5/(1-x)]
因x,n都是整数，只能1-x=+ -1, x=0,或x=2, 则n=3,或n=-9
或者只能1-x=+ -5, x=-4,或x=6, 则n=3,或n=-9
所以，只能有n=3或-9
所以：r=2/3,或-2/9,带入方程，满足：有根且只有整数根
综合以上：
r=0, 或2/3, 或-2/9