Question

A是n阶矩阵,Ax=0的有非零解的充要条件是|A|=0,为什么?能够证明么？

A是n阶矩阵,Ax=0的有非零解的充要条件是|A|=0,为什么?能够证明么？

Answer 1

必要性：假设｜A｜0则n阶矩阵A逆AX＝0两边同左乘A逆X＝0即说明X0解与条件矛盾故｜A｜＝0。

充性：A写列向量形式A＝［a1，a2，．．．．．．an］其aiA第i列。

同X写向量形式X＝［x1，x2，．．．xn］T。

则AX＝0表示

x1a1x2a2．．．．．．xnan＝0

｜A｜＝0所A秩于n所A列向量线性相关故存全0组数x1，x2，．．．．．．，xn使x1a1x2a2．．．．．．xnan＝0

所AX＝0非零解

AX＝0有唯一解的充要条件是｜A｜≠0。存在非零解是正确的，必须｜A｜＝0。

｜A｜＝0可以推出AX＝0但是不能确定x为非零x也可为零。

AX＝0有非零解的充要条件是｜A｜＝0且x不等于0。

扩展资料

n阶矩阵A可相似对角化的充要条件是：

1、n阶方阵存在n个线性无关的特征向量。

推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵。

2、如果阶n方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数。

Answer 2

必要性：假设|A|不为0，则n阶矩阵A可逆，AX=0两边同时左乘A逆得X=0，即说明X只有0解，与条件矛盾，故|A|=0
充分性：将A写成列向量的形式，A=[a1,a2,......an]，其中ai为A的第i列，
同时X也写成向量形式，X=[x1,x2,...xn]T
则AX=0可表示成
x1a1+x2a2+......xnan=0
因为|A|=0，所以A的秩小于n，所以A的列向量线性相关，故存在不全为0的一组数 x1,x2,......,xn，使得x1a1+x2a2+......xnan=0
所以AX=0有非零解
这道题在线性代数里算比较基础的，建议你多看看书，线性代数好多题证明要用到线性相关的知识

追问

恩恩 回答的很好 题目中问什么要强调是n 阶矩阵 ，难道m*n阶矩阵不成立吗？能不能解释下 万分感谢！

追答

m*n阶矩阵是不能算行列式的，行列式只有n阶矩阵才能算，请采纳