Question

已知方程f(x)=x²+ax+2b的两个根分别在(0,1),(1,2)内,则a²+(b-4)²的取值范围为？

Answer 1

由题知，
已知方程f(x)=x²+ax+2b为二次函数，开口向上
f(x)=0的两个根分别在(0,1),(1,2)内

所以知道
约束条件为
f(0)=2b>0
f(1)=1+a+2b<0
f(2)=4+2a+2b>0

所以，要求a²+(b-4)²的取值范围
就转化为在区域(a为横坐标，b为纵坐标)
b>0
1+a+2b<0
2+a+b>0
的线性规划问题~~

如图~~
a²+(b-4)²为区域中的点与点(0,4)距离的平方
在(-9/5,2/5)取最小值为81/5
在(-2,0)取最大值为20
而最大值最小值取不到
所以a²+(b-4)²∈(81/5,20)

希望采纳~~~

Answer 2

解：抛物线f（x）=x2+ax+2b开口向上
两个根分别在（0，1），（1，2）内，所以，
f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，即2b＞0，（a+2b+1）＜0，（2a+2b+4）＞0
所以，在同一直角aOb坐标系里，画出直线
b=0，a+2b+1=0，a+b+2=0
记b=0和a+2b+1=0的交点为A，a+2b+1=0和a+b+2=0的交点为Q，
b=0和a+b+2=0的交点为B
那么，A（-1，0），Q（-3，1），B（-2，0）
我们知道，b＞0，a+2b+1＜0，a+b+2＞0，就是三角形AQB．
a2+（b-4）2其实就是点P（0，4）到三角形区域的距离的平方
根据图，我们知道，最小的距离是P垂直于AQ时的距离，这时候，最小距离d= 95；
最大距离是，PB=2 5，因为该三角形的边线不符合不等式条件！
所以，a2+（b-4）2的范围是（ 815，20）
故答案为：（ 815，20）．