Question

已知f(x)=x-1/x-alnx (a属于R) 问1 考虑f(x)的单调性 问2 f(x)有两极值点x1.x2记过点a(x1.f(x1))

b(x2.f(x2))的直线斜率为k 是否存在a使得k=2-a.若存在求出a... 求救

Answer 1

(1)f'(x)=(x²-ax+1)/x² (x>0)
①当a/2≤0即a≤0时，总有f'(x)>0，此时f(x)在(0,+∞)上递增；
②当a/2>0即a>0时，
⑴△=a²-4≤0即0<a≤2时，总有f'(x)≥0，此时f(x)在(0,+∞)上递增；
⑵△=a²-4>0即a>2时，设x²-ax+1=0在(0,+∞)上的两根
x₁= [a-√(a²-4)]/2，
x₂= [a+√(a²-4)]/2，则当x∈(0,x₁]∪[x₂,+∞)时f'(x)≥0, x∈[x₁,x₂]时f'(x)≤0 .
综上，当a∈(-∞,2]时，f(x)在(0,+∞)上递增；当a∈(2,+∞)时，f(x)在(0,x₁]，[x₂,+∞)上递增，在(x₁,x₂)上递减.
(2)依题，假设存在，此时a∈(2,+∞)，有[f(x₂)-f(x₁)]/(x₂-x₁)=2-a, 代入(1)⑵中的x₁,x₂【尽量用韦达定理消元】得关于a的方程ln { [a+√(a²-4)]/[a-√(a²-4)] }=√(a²-4).
后面的我不会证了，主要是证当a∈(2,+∞)时，左边<右边 恒成立）。我用几何画板画了，确实是的，当且仅当a=2时取等。你自己证一下吧。 抱歉 我帮不了你了