已知f(x)=(1/2ˆx-1+½)x 。(1)判断函数f(x)的奇偶性。 (2)求证f(x)>0 10
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f(x)-f(-x)
=x[1/(2^x-1)+1/2]-(-x)[1/(2^-x-1)+1/2]
=x[1/(2^x-1)+1/2]+x[2^x/(1-2^x)+1/2]
=x[1/(2^x-1)+1/2+2^x/(1-2^x)+1/2]
=x[1/(2^x-1)-2^x/(2^x-1)+1]
=x[(1-2^x)/(2^x-1)+1]
=x(-1+1)
=0
f(x)=f(-x)
定义域2^x-1≠0
x≠0,关于原点对称
所以是偶函数
x>0
2^x>1
1/(2^x-1)>0
所以x[1/(2^x-1)+1/2]>0
偶函数关于y轴对称
所以x<0也是大于0
所以有f(x)>0
=x[1/(2^x-1)+1/2]-(-x)[1/(2^-x-1)+1/2]
=x[1/(2^x-1)+1/2]+x[2^x/(1-2^x)+1/2]
=x[1/(2^x-1)+1/2+2^x/(1-2^x)+1/2]
=x[1/(2^x-1)-2^x/(2^x-1)+1]
=x[(1-2^x)/(2^x-1)+1]
=x(-1+1)
=0
f(x)=f(-x)
定义域2^x-1≠0
x≠0,关于原点对称
所以是偶函数
x>0
2^x>1
1/(2^x-1)>0
所以x[1/(2^x-1)+1/2]>0
偶函数关于y轴对称
所以x<0也是大于0
所以有f(x)>0
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奇偶性首先看定义域是否关于原点对称
f(x)定义域只要表达式没问题就是R
其次看f(-x)到底等于f(x)还是-f(x),或者f(-x)+f(x)=0还是f(-x)-f(x)=0
f(x)-f(-x)
=x[1/(2^x-1)+1/2]-(-x)[1/(2^-x-1)+1/2]
=x[1/(2^x-1)+1/2]+x[2^x/(1-2^x)+1/2]
=x[1/(2^x-1)+1/2+2^x/(1-2^x)+1/2]
=x[1/(2^x-1)-2^x/(2^x-1)+1]
=x[(1-2^x)/(2^x-1)+1]
=x(-1+1)
=0
偶函数
2)x>0
2^x>1
1/(2^x-1)>0
所以x[1/(2^x-1)+1/2]>0
偶函数关于y轴对称
所以x<0也是大于0
所以有f(x)>0
f(x)定义域只要表达式没问题就是R
其次看f(-x)到底等于f(x)还是-f(x),或者f(-x)+f(x)=0还是f(-x)-f(x)=0
f(x)-f(-x)
=x[1/(2^x-1)+1/2]-(-x)[1/(2^-x-1)+1/2]
=x[1/(2^x-1)+1/2]+x[2^x/(1-2^x)+1/2]
=x[1/(2^x-1)+1/2+2^x/(1-2^x)+1/2]
=x[1/(2^x-1)-2^x/(2^x-1)+1]
=x[(1-2^x)/(2^x-1)+1]
=x(-1+1)
=0
偶函数
2)x>0
2^x>1
1/(2^x-1)>0
所以x[1/(2^x-1)+1/2]>0
偶函数关于y轴对称
所以x<0也是大于0
所以有f(x)>0
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