Question

已知f(x)=(1/2ˆx－1＋½)x 。（1）判断函数f(x)的奇偶性。 （2）求证f(x)＞0

Answer 1

(1)
f(x)=(1/2ˆx－1＋2ˆx)/2 =[2^(-x)－1＋2ˆx]/2
则f(-x)=[2ˆx－1＋2^(-x)]/2 =f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)
由于当x>0时,2ˆx>1,2^(-x)>0,故2^(-x)－1＋2ˆx>0;
当x<0时,2ˆ(-x)>1,2^x>0,故2^(-x)－1＋2ˆx>0;
综上所述,恒有f(x)＞0

Answer 2

f(x)-f(-x)
=x[1/(2^x-1)+1/2]-(-x)[1/(2^-x-1)+1/2]
=x[1/(2^x-1)+1/2]+x[2^x/(1-2^x)+1/2]
=x[1/(2^x-1)+1/2+2^x/(1-2^x)+1/2]
=x[1/(2^x-1)-2^x/(2^x-1)+1]
=x[(1-2^x)/(2^x-1)+1]
=x(-1+1)
=0
f(x)=f(-x)
定义域2^x-1≠0
x≠0，关于原点对称
所以是偶函数

x>0
2^x>1
1/(2^x-1)>0
所以x[1/(2^x-1)+1/2]>0
偶函数关于y轴对称
所以x<0也是大于0
所以有f(x)>0

Answer 3

奇偶性首先看定义域是否关于原点对称
f(x)定义域只要表达式没问题就是R
其次看f(-x)到底等于f(x)还是-f(x),或者f(-x)+f(x)=0还是f(-x)-f(x)=0
f(x)-f(-x)
=x[1/(2^x-1)+1/2]-(-x)[1/(2^-x-1)+1/2]
=x[1/(2^x-1)+1/2]+x[2^x/(1-2^x)+1/2]
=x[1/(2^x-1)+1/2+2^x/(1-2^x)+1/2]
=x[1/(2^x-1)-2^x/(2^x-1)+1]
=x[(1-2^x)/(2^x-1)+1]
=x(-1+1)
=0
偶函数
2）x>0
2^x>1
1/(2^x-1)>0
所以x[1/(2^x-1)+1/2]>0
偶函数关于y轴对称
所以x<0也是大于0
所以有f(x)>0