Question

多元函数求最大最小值，求高数大神

Answer 1

如此简单的问题，用初等数学就能解决。

u＝x^2+y^2+z^2,
z＝x^2+y^2,
x+y+z＝4.
故u＝x^2+y^2+z^2
＝z^2+z
＝(z+1/2)^2-1/4.

而依Cauchy不等式，得
z＝x^2+y^2
≥(x+y)^2/(1+1)
＝(4-z)^2/2
→z^2-10u+16≤0
→2≤z≤8.

∴z＝2时，u|min＝6;
z＝8时，u|max＝72。

追问

最大值错了~

追答

显然u＝(z+1/2)^2-1/4是一开口向上的抛物线，

当z∈[2,8],函数u单调递增，
即取最大值时，z值取上界8,
∴u|max＝(8+1/2)^2-1/4＝72.
此时，x＝-2,y＝-2,z＝8.
另外，z值取不到-1/2，因为：-1/2不∈[2，8]。

可见，u|max＝72根本没错！
如果认为有错，你用高数求答案对比一下吧。

追问

追答

你太迷信书本答案了！
当x＝-2,y＝-2,z＝8时，
u＝(-2)^2+(-2)^2+8^2＝4+4+64＝72.
“80”从何而来？！

追问

用偏导数的方法求一下了~

用偏导数的方法求一下了~

追答

结果呢？是多少？
我学数学的方法与观点是，跳出高数、初数的条条框框，开阔视野，用最简洁最优美的方法解题，追求数学美享受数学美。