Question

线性代数中关于r(A+B)<=r(A)+r(B)的证明！

红线处为什么可以这么说呢？

Answer 1

这是因为A+B的列向量可以由向量组{a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn}线性表示，而{a1,a2,...,an}可以由向量组{a1,a2,...,ap}线性表示、{b1,b2,...,bn}可以由向量组{b1,b2,...,bq}线性表示。 因此，A+B的列向量可以由向量组{a1,a2,...,ap,b1,b2,...,bq}线性表示。

Answer 2

用a表示阿法用b表示贝塔:
由最大线性无关组的定义可知,A和B中每一列向量都可由其线性无关组线性表出:
a(i)=s1*a(1)+s2*a(2)+.....+sp*a(p);b(i)=t1*b(1)+t2*b(2)+....+tq*b(q);
故友a(i)+b(i)=s1*a(1)+s2*a(2)+.....+sp*a(p)+t1*b(1)+t2*b(2)+....+tq*b(q).那么说明A+B中
的每一列向量均可由a(1),a(2)....a(p),b(1),b(2)....b(q)线性表出,因此A+B的秩必然小于或等于
a(1),a(2)....a(p),b(1),b(2)....b(q)的秩.