Question

若函数f(x)=a的x次方,a大于1,定义域与值域都是[m,n],则a的取

若函数f(x)=a的x次方,a大于1,定义域与值域都是[m,n],则a的取值范围，高三BT题，求数学高手

Answer 1

函数f(x)=a^x的定义域和值域都是[m,n]，一般写到这里都是指指数函数，
即a＞0，且a≠1
⑴当a＞1时，
函数f(x)=a^x是单调的，因此，f(m)=m，f(n)=n.
因此f(x)=x即a^x=x必须至少有一解，两边取对数分离参数得：lna=(lnx)/x，上述问题即，直线y=lna与函数y=(lnx)/x需至少有一个交点，已知a>1,而函数y=(lnx)/x的值域为（-∞，1/e]
（对函数y=(lnx)/x求导：得y’=(1-lnx)/x^2,至此很容易得到，函数在（0，e）上单调递增，在（e,+∞)上单调递减，，因此函数在x=e处取得最大值1/e.)，因此0<lna<=1/e
这里你最好自己能把函数y=(lnx)/x的大致图象画出来看看就知道了
，所以:1<a<=e^(1/e)，
所以，函数f(x)=a^x(a>1)的定义域和值域都是[m,n],则a的取值范围为：
（1，e^(1/e)]
⑵当0＜a＜1的时候同理可求

Answer 2

（1.e的1/e次方]
由f(x)=a的x次方（a>1）得该函数为单增指数函数.所以其在[m.n]的值域为[f(m).f(n)].由题意得f(m)=m.f(n)=n
即问题转化为f(x)=x至少有一个解x0.且此时满足m=n=x0
方程a的x次方=x两边取对数得lna=lnx/x.
设g(x)=lnx/x.求导易得其在x=e时取得最大值.所以可求其值域为（负无穷,1/e].故应使lna<=1/e.解得a<=e的1/e次方,又因a>1.故综上得1<a<=e的1/e次方.

Answer 3

f(x)=a^x是连续函数，定义域和值域都是[m,n]
当x=m时，f(m)=a^m=m，所以：a=m^(1/m)
当x=n时，f(n)=a^n=n，所以：a=n^(1/n)
所以，a∈[m^(1/m),n^(1/n)]

Answer 4

x^(1/x)的最大值为自然常数e，因此n<=e;（n>m) a<=e^(1/e)
而m必定为1，
所以a 的取值范围为 1<a<=e^(1/e);

Answer 5

指数函数a>1，则是增函数，
必须f(m)=m
f(n)=n
m=a^m
n=a^n
其实这个问题是说什么时候方程x=a^x有两个根，这是一个超越方程
只能用计算器或画图像解决了或二分法原理（f(x)连续不间断于[a,b]，若f(a)f(b)<0,则(a,b)必然至少一个根）
故1<a<2