Question

求助一个数学问题，很感谢

已知A（-1,0） 和B（1,0）及抛物线 y^2=2x，若抛物线上某点P，|PA| = m |PB|
求m的最大值

Answer 1

设P(y^2/2,y)
则m^2=|PA|^2/|PB|^2
=[(y^2/2 +1)^2+y^2]/[(y^2/2 -1)^2+y^2]
=[(y^2+2)^2+4y^2]/[(y^2-2)^2+4y^2]
=(y^4+8y^2+4)/(y^4+4)
=1+8y^2/(y^4+4)
=1+8/(y^2+4/y^2)
y^2+4/y^2>=4
所以m^2<=1+8/4=3
m的最大值为根号3

Answer 2

m^2=pa^2/pb^2=((x+1)^2+y^2)/((x-1)^2+y^2),把y^2消去得，m^2=(x^2+4x+1)/(x^2+1),分离常数得
m^2=1+4x/(x^2+1)=1+4/(x+1/x),因为x+1/x,的最小值为2，所以m^2最大值为3，故m最大值为根号3