Question

等差数列{an} {bn}前n项和为An Bn,An/Bn=(7n+2)/(n+3),求a5/b5.

我的算法是a5/b5=(A5-A4)/(B5-B4)为什么不对？

Answer 1

首先a5/b5=(A5-A4)/(B5-B4) 是对的
但是题目中只告诉我们An/Bn，并没有告诉我们An=(7n+2) Bn= (n+3)
如果你令An/(7n+2)=Bn/(n+3) = K,
得An=(7n+2)*K Bn = (n+3)*K
那么我告诉你这个K不是一个常数，它与n有关（由等差数列求和公式可知Sn是关于n的一个二次函数）
当你代入到(A5-A4)/(B5-B4)中时，K是不能直接消掉的

正确简单解法：a5/b5
=2a5/2b5 分子分母同乘以2
=(a1+a9)/(b1+b9) a5 、b5 分别为 a1与a9、b1与b9的等差中项
=[(a1+a9)*9/2] / [(b1+b9)* 9/2] 分子分母同乘以9/2
=A9/B9 等差数列求和公式
=65/12

Answer 2

an=a1+(n+1)d1
An=na1+n(n+1)d1/2
bn=11+(n+1)d2
An=nb1+n(n+1)d2/2
An/Bn=[na1+n(n+1)d1/2]/[nb1+n(n+1)d2/2]
=[2a1+(n+1)d1]/[2b1+(n+1)d2]
=(7n+2)/(n+3)
当n=7时，
[2a1+8d1]/[2b1+8d2]=(7*7+2)/(7+3)]=51/10
[a1+4d1]/[b1+4d2]=51/10

a5/b5=51/10

Answer 3

假设:an=a1+(n-1)*c;bn=b1+(n-1)*d;
则An=n*a1+n*(n-1)*c/2;Bn=n*b1+n*(n-1)*d/2;
两式相除,约掉n
An/Bn=(a1+(n-1)*c/2)/(b1+(n-1)*d/2)=(7n+2)/(n+3)
所以c=14,a1=9,an=9+(n-1)*14
d=2,b1=4,bn=4+(n-1)*2
a5/b5=(14*4+9)/(2*4+4)=65/12