Question

如何判断无理数的无理数次幂为无理数

设根号2的根号2次幂=q/p，（q,p）=1,则q>1,将q经行质因数分解，则一定存在M使q的M次方根为无理数，如何证明，q/p的M次方根也为无理数？

Answer 1

“无理数的无理次幂为无理数”这句话明显是错的。
证明如下：设a、b均为无理数，按照上面的结论，那么必有：a^b=c为无理数--------------------①
对于任意的有理数d，那么必然有d^(1/b)为有理数，否则[d^(1/b)]^b=d为无理数，矛盾
所以我们由①可以得出结论：
如果a为有理数，b为无理数，那么a^b=d为有理数----------------------------------------②
做一个函数：f（x）=2^x-1，定义域为(1,+∞)
那么对应的值域也是(1,+∞)，且是严格单调递增的
按照②的结论，当x为无理数的时候，f（x）为有理数！！！
也就是(1,+∞)上的无理数都能够在(1,+∞）上找到一个唯一的映射
这是不可能的，因为无理数的基数比有理数的基数大。这是集合论的结论，通
俗点讲就是说无理数比有理数多。
矛盾，所以①不成立。

证明的思路不一样。