Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A,B,C的对边长，已知b²-c²=a²-2/3ac

(1)求cosB及tan（A+C）/2的值
（2)若b=2倍根号2，△ABC的面积为根号2，求sinA+sinC的值。

Answer 1

(1)
∵b²-c²=a²-2/3ac
∴a²+b²-c²=-2/3ac
cosB=(a²+b²-c²)/(2ab)=-1/3
sinB=√(1-cos²B)=2√2/3
∴tanB=sinB/cosB=-2√2
又tanB=2tanB/2/(1-tan²B/2)
∴2tan(B/2)/(1-tan²B/2)=-2√2
==> √2tan²(B/2)-tan(B/2)-√2=0
解得：
tanB/2=(1-2√2)/4或 tan(B/2)=(1+2√2)/4
∵B为三角形内角
∴tanB/2>0
那么 tan(B/2)=(1+2√2)/4
ΔABC的面积为√2
即1/2acsinB=√2
∴1/2ac*2√2/3=√2
∴ac=3
∵b=2√2

根据余弦定理
b²=a²+c²-2accosB
∴8=a²+c²-2*3*(-1/3)
∴a²+c²=6
∴(a+c)²=a²+c²+2ac=6+4=9
∴a+c=3
又2R=b/sinB=2√2/(2√2/3)=3
∴sinA+sinB
=a/2R+b/2R
=2/(2R)
=2/3