Question

已知圆C1：x^2+y^2=4和圆C2：x^2+(y-8)^2=4,直线y=根号5/2x+b在两圆之间穿过，求实数b的取值范围

已知圆C1：x^2+y^2=4和圆C2：x^2+(y-8)^2=4,直线y=根号5/2x+b在两圆之间穿过，求实数b的取值范围

Answer 1

因为要求直线在两圆之间穿过，所以要求直线与两圆都相离
即要求两圆心到直线的距离都大于两圆的半径，过程如下：
由题知：圆心C1(0,0) C2(0,8)
直线化为：(√5/2)x-y+b=0
圆心C1到直线的距离为：d1=|b|/√(5/4+1)=(2|b|)/3
圆心C2到直线的距离为：d2=|b-8|/√(5/4+1)=(2|b-8|)/3
因此得到：
d1>2 (2|b|)/3>2
即是:b^2>9 解得：b<-3 或b>3
d2>2 (2|b-8|)/3>2
即是：(b-8)^2>9 解得：b<5或b>11
因为当b<-3 b>11时，函数于y轴的交点不在两圆之间，所以舍去
所以由上述不等式同时成立得到：
3<b<5回答完毕，谢谢！

Answer 2

直线y=(根号5/2)x+b的斜角为α
tan α = √5 / 2 → cos α = 3/2
在直角△ODC中 ∠DOC= α ，OD = 2
OC = OD / cos α =3
同样推出 OB= 8 - 3 = 5

故：求实数b的取值范围为[3,5]

Answer 3

3<b<5