Question

已知函数f(x)=㏑x-(x-1)/√x.

(1)判定函数f(x)的单调性 （2）设a>1,证明：㏑a/(a-1)<1/√a.

Answer 1

（1） 判定单调性：
由函数的解析式f(x)=Inx-(x-1)/√x 可知此函数的定义域为x>0。
接着对函数f(x求导：
f(x)ˊ=1/x -(√x -(x-1)/(2√x ) ) /x
=(2√x -2x + x -1)/（2x√x)
=(2√x -x -1)/（2x√x)
=- ( (√x )∧2 - 2√x + 1 )/ (2x√x)
=- (√x - 1)∧2 /(2x√x)；
1) 当x≠1时，显然有 f(x)ˊ< 0 （定义域为x>0）；
2）当x=1时，有 f(x)ˊ= 0，且 f(x) = 0。
综上所述，函数f(x)在其定义域内为单调递减函数。

（2） 证明：
利用（1)的结果，因为f(1)=0, 且函数f(x)在定义域x>0上是单调递减函数，所以当x>1时，有f(x)= Inx-(x-1)/√x < f(1)=0 ，也就有 Inx / (x-1) < 1/√x ，最后将x换为a就可得所证。

Answer 2

解：
（1）因为f(x)=㏑x-(x-1)/√x，求导得： f'(x)=1/x-(1+1/x)/(2√x)=-[(√x-1)^2]/(2*x*√x)；
显然，当x=1时，f'(x)=0；当x>0，x≠1时，f'(x)<0。
故在区间(0, ∞)内，f(x)递减。

（2）x>0时f(x)递减，所以x>1时，f(x)<f(1)=0，
上式中令x=a得，㏑a-(a-1)/√a<0，即㏑a/(a-1)<1/√a