Question

设P为等边三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=4，pc=3，求此等边三角形的边长。

要过程，谢谢！

Answer 1

解：

△PAC绕点C逆时针旋转60°到△DBC，则：

PC=DC，PA=DA，∠PCD=60°

所以：△PCD是等边三角形

所以：PC=PD=CD=3

因为：PA=DB=5，PB=4

所以：△BPD是直角三角形，∠BPD=90°

因为：∠BPC=∠DPC+∠BPD=60°+90°=150°

根据余弦定理有：
BC^2=PB^2+PC^2-2PB*PC*cos∠BPC

BC^2=16+9-24*cos150°

BC^2=25+12√3

解得：BC=√(25+12√3)

所以：三角形ABC的边长为√(25+12√3)

Answer 2

追问

下不下来。

Answer 3

解：以PA为边，向△ABC外部作等边三角形APQ，连接BQ
则PQ=PA=3，∠APQ=60°，

∵△ABC、△PAQ为等边三角形
∴AB=AC，PA=QA，∠PAQ=∠BAC=60°
∴∠CAP+∠PAB=∠BAC=60°，∠PAB+∠BAQ=∠PAQ，
∴∠CAP=∠BAQ
在△CAP和△BAQ中
AB=AC
∠CAP=∠BAQ
PA=QA
△CAP≌△BAQ（S.A.S)
∴CP=BQ=5，
∵在△BPQ中，PQ=3，PB=4，BQ=5
∴△BPQ是直角三角形（勾股定理）
∴∠BPQ=90°
∴∠APB=∠APQ+∠BPQ
=60°+90°
=150°

追问

边长呢？

Answer 4

约为6,766 i