Question

已知向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2),求证(x1x2+y1y2)^2≤(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)

急急急 详细说明···拜托了

Answer 1

设向量a与b的夹角为θ
ab=|a||b|cosθ 所以(ab)²=|a|²|b|²cos²θ
由于0≤cos²θ≤1 所以(ab)²≤|a|²|b|²
而ab=x1x2+y1y2 |a|²=x1²+y1² |b|²=x2²+y2²
代入上式即得(x1x2+y1y2)² ≤ (x1²+y1²)(x2²+y2²)

Answer 2

这不就是柯西不等式吗？定理呀。
(x1x2+y1y2)^2=（ab)^2=(|a||b|cos<a,b>)^2≤(|a||b|)^2=a^2b^2=(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2),证毕