Question

已知，三角形ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x·x－（2k＋3）x＋k·k＋3k＋

已知，三角形ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x·x－（2k＋3）x＋k·k＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC长为5。求当k为何值时，三角形是等腰三角形，并求出此时等腰三角形ABC的周长。

Answer 1

（1）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5，
∴AB2+AC2=25，
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，
∴AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，
∴AB2+AC2=（AB+AC）2-2AB•AC，
即（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25，
解得k=2或-5（舍去负数）；

（2）∵△ABC是等腰三角形；
∴当AB=AC时，△=b2-4ac=0，
∴（2k+3）2-4（k2+3k+2）=0
解得k不存在；
当AB=BC时，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k2+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6
∴△ABC的周长为14或16．

Answer 2

Answer 3

Answer 4